\subsection{Pendule à un maillon}
Afin de modéliser le pendule à 1 maillon la première étape consiste à mettre en équation le problème et ainsi déterminer le problème de \emph{Cauchy} à résoudre.
\begin{center}
    $\begin{bmatrix}
        \theta \\
    	\dot{\theta}
	\end{bmatrix}
	 = 
	 \begin{bmatrix}
		\theta_0 \\
		0
	\end{bmatrix}$,
	\hspace{10px}
	$\begin{bmatrix}
		\dot{\theta} \\
		\ddot{\theta}
	\end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix}
    	\dot{\theta} \\
		-\sqrt{\frac{g}{l}}\times\theta
	\end{bmatrix}$

\end{center}
\indent On résout ce problème avec la méthode de \emph{Runge-Kutta} ce qui nous donne $\theta$ et $\dot{\theta}$ que l'on a tracé en fonction du temps sur la figure \ref{fig:maillon1theta}. \\
\indent À partir de ces deux tracés, on peux tout d'abord affirmer que la solution trouvé semble caractériser correctement le problème d'un point de vue physique. En effet on observe que la vitesse du pendule est maximale en valeur absolue lorsque l'angle qu'il forme avec la verticale, \emph{i.e} $\theta$, est nul, et réciproquement cet angle est maximal en valeur absolue quand la vitesse est nulle. La seconde observation est faite sur l'amplitude. En effet celle-ci à tendance à augmenter ce qui est contraire à la logique physique, puisque le comportement attendu est une oscillation régulière et non atténué car les frottements (air, liaison pivot) ne sont pas pris en compte. Cet augmentation de l'amplitude peut s'expliquer par l'erreur de précision imputable aux méthode de résolution numérique.\\ \\

\indent À partir du tracé \ref{fig:maillon1theta} il est également possible déterminer la période d'oscillation du pendule et donc de remonter à la fréquence. On détermine alors la fréquence pour différents $\theta_0$ afin de vérifier l'hypothèse des petites oscillations donnant une fréquence théorique de $f_0 = \frac{1}{2\pi}\times\sqrt{\frac{g}{l}}$. Comme le montre la figure \ref{fig:maillon1theta} les fréquences obtenues pour des angles allant de $\frac{-2\pi}{3}$ à $\frac{2\pi}{3}$ sont relativement proche de la fréquence théorique $f_0$, à plus ou moins $0,06Hz$ (en considérant que le temps à été mesuré en $s$). De plus l'allure du tracé est en adéquation avec la formule de \emph{Borda} utilisée pour de plus grandes amplitudes.

\begin{figure}[H]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/VariationTheta+VitesseMaillon1.png}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/FrequenceMaillon1.png}
    \caption{Tracé de l'angle $\theta$ et de sa vitesse angulaire en fonction du temps à droite, tracé des fréquences d'oscillation pour des angles initiaux différents.}
   \label{fig:maillon1theta}
    \end{center}
  \end{figure}


\subsection{Pendule à deux maillons}
Un nouvelle fois on commence par caractériser le problème à résoudre en utilisant : les équations données en annexe dans le sujet, un pendule à deux maillon tel qu'il est modélisé sur le sujet, ainsi que la méthode de \emph{Rung-Kutta}. Pour ce pendule à deux maillons on fait intervenir quatre équations et donc quatre conditions initiales. Après résolution on obtient $\theta_1$, $\theta_2$, $\omega_1=\dot{\theta_1}$ et $\omega_2=\dot{\theta_2}$. À partir de ces solutions, nous sommes en mesure par projection dans un repère cartésien de tracer les trajectoires des extrémités des deux maillons.\\
\indent Plusieurs choses sont alors à noter. Tout d'abord pour des angles initiaux $\theta_{10} = \frac{\pi}{2}$ et $\theta_{20} = \frac{\pi}{3}$ deux comportement de trajectoire peuvent apparaitre. Le premier, pour des vitesses angulaire initiales nulles, le pendule se comporte de manière attendu et ses extrémités on une trajectoire curviligne. Cependant dans le deuxième cas on peux observer un phénomène de résonance en mettant $\omega_{10}$ à $\sqrt{\frac{g}{l2}}$, la trajectoire de l'extrémité du second maillon est alors chaotique comme le montre la figure \ref{fig:maillon2traj}, et on peut observer un premier retournement du second maillon pour un temps $t=30.67 unites de temps$.\\
\begin{figure}[H]
    \begin{center}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/TrajectoireMaillon2.png}
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/TrajectoireMaillon2Res.png}
    \caption{Trajectoire du pendule pour $\theta_{10} = \frac{\pi}{2}$ et $\theta_{20} = \frac{\pi}{3}$ à gauche, trajectoire du même pendule pour les même angles initiaux mais une vitesse angulaire initiale $\omega_{10}$ à $\sqrt{\frac{g}{l2}}$ à droite.}
   \label{fig:maillon2traj}
    \end{center}
  \end{figure}
\indent Toutefois l'obtention d'un tel comportement n'est pas uniquement lié au phénomène de résonance et peut être obtenu avec des angles initiaux bien choisis. Ainsi en considérant des angles initiaux compris entre $\frac{\pi}{3.7}$ et $\frac{\pi}{1.6}$ on montre, par exécution de la fonction \emph{Maillon2InitCdt()}, que le système se comporte normalement (de façon non chaotique) jusqu'à un angle de $\frac{\pi}{2}$ où le système devient chaotique et où un premier retournement apparait à $t=33,6 unites de temps$, ce comportement se poursuit pour $\theta_{20} = \frac{\pi}{1.8}$ avec un retournement encore plus tôt à $t=18.8$ puis commence à retrouver un comportement non chaotique à partir de $\theta_{20} = \frac{\pi}{1.3}$. On peut donc affirmer que le comportement de ce système est dépendant de ses conditions initiales.